Gelombang Berjalan
Gelombang berjalan adalah gelombang yang amplitudo dan fasenya sama di setiap titik yang dilalui gelombang. Suatu gelombang dimana setiap titik yang dilalui oleh gelombang tersebut bergetar harmonis dengan amplitudo yang sama besar. Amplitudo pada tali yang digetarkan terus menerus akan selalu tetap, oleh karenanya gelombang yang memiliki amplitudo yang tetap setiap saat disebut gelombang berjalan.
Persamaan simpangan
Seutas tali yang cukup panjang digetarkan sehingga pada tali terbentuk gelombang transversal berjalan. Gelombang merambat dari titik O sebagai pusat koordinat menuju arah sumbu –x positif.
Perhatikan gambar berikut:
Gambar Perambatan Gelombang
Jika titik O telah bergetar secara periodik selama t detik, maka simpangan gelombang di titik O akan memenuhi simpangan getaran harmonis, yaitu
Dengan:
𝑦 = simpangan gelombang atau simpangan getaran titik yang dilalui (m)
𝐴 = Amplitudo atau simpangan maksimum (m)
𝜔 = kecepatan sudut (rad/s)
𝜔 = 2𝜋𝑓 , dengan 𝑓 adalah frekuensi getar (Hz)
t = lamanya titik O telah bergetar (s)
Oleh karena 𝜔 = 2𝜋𝑓 atau bisa juga ditulis 𝜔 = 2𝜋/T , maka persamaan 𝑦 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 dapat ditulis menjadi :
atau
Fase gelombang (φ):
dari persamaan
diperoleh fase gelombang yaitu :
Atau
φ=ft
Sudut fase (𝜃):
θ = ωt
Gelombang merambat dari titik O sepanjang sumbu-x positif. Sebuah titik P bergerak x dari titik O akan ikut bergetar karena adanya rambatan getaran dari titik O ke titik P. Gelombang yang terbentuk itu disebut gelombang berjalan. Waktu yang diperlukan oleh gelombang untuk merambat dari titik O ke titik P adalah :
Jika titik O telah bergetar selama t sekon dan waktu yang dibutuhkan oleh gelombang untuk merambat sampai di titik P adalah tp=x/v, maka titik P baru bergetar selama (𝑡 - tp) = (𝑡 - x/v) sekon. Sehingga dapat menentukan persamaan simpangan gelombang di titik P menjadi :
Dari persamaan di atas dapat dibuat menjadi persamaan yang biasa digunakan dengan mensubtitusikan nilai = 2π/T, sehingga persamaannya dapat dituliskan menjadi :
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi :
Perhatikan bahwa 𝑇𝑣= 𝜆, maka persamaan di atas Anda dapat tulis juga sebagai :
kecepatan sudut (rad/s) :
bilangan gelombang (rad/m) :
maka persamaan :
dapat dituliskan :
Dapat disimpulkan persamaan simpangan gelombang secara lengkap adalah :
Kesimpulan berhubungan dengan tanda di depan amplitudo 𝐴 dan bilangan gelombang 𝑘, yaitu:
+𝐴 berarti simpangan awal gelombang ke atas
-𝐴 berarti simpangan awal gelombang ke bawah
-𝑘 berarti gelombang merambat ke kanan
+𝑘 berarti gelombang merambat ke kiri
Keterangan :
Y = simpangan (m);
A = amplitudo gelombang (m);
𝜔 = kecepatan sudut gelombang (rad/s);
t = lamanya gelombang beretar (s);
T = periode gelombang (s);
k = bilangan gelombang (rad/m);
x = jarak titik ke sumber getar (m); dan
λ = panjang gelombang (m).
Persamaan kecepatan
Seperti yang diketahui bahwa kecepatan merupakan turunan pertama dari jarak atau simpangan. Dengan demikian, persamaan kecepatan gelombang berjalan adalah persamaan yang diturunkan dari persamaan simpangan. Secara matematis, jika diambil persamaan gelombang yang simpangan awal ke atas dan arah rambatnya ke kanan maka dapat diturunkan persamaan kecepatannya sebagai berikut:
Sehingga dapat ditulis :
kecepatan maksimum dapat dituliskan :
Keterangan:
v = kecepatan (m/s); dan
y = simpangan gelombang (m).
Persamaan percepatan
Seperti halnya kecepatan, juga dapat menetukan persamaan percepatan yang merupakan turunan pertama dari kecepatan atau percepatan merupakan turunan kedua dari simpangan. Secara matematis, diperoleh persamaan percepatan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Sehingga akhirnya dapat diuliskan persamaan gelombang berjalan sebagai berikut:
Dari persamaan di atas, dapat menentukan percepatan maksimum gelombang berjalan, yaitu:
Keterangan:
a = percepatan (m/s2);
v = kecepatan gelombang (m/s); dan
y = simpangan (m).
Sudut Fase, Fase dan Beda fase Gelombang Stasioner
Sudut fase adalah sudut yang ditempuh oleh benda yang bergetar. Sudut fase dinyatakan dalam fungsi sinus dari persamaan umum gelombang. Fase gelombang adalah besaran yang berkaitan dengan simpangan dan arah gerak gelombang. Beda fase adalah perbedaan fase gelombang atau tahapan gelombang.
Tiga variabel tersebut dapat diturunkan dari persamaan gelombang berjalan. Tuliskan persamaan umum gelombang berjalan, misalnya diambil persamaan simpangan gelombang yang simpangan awalnya ke atas dan arah rambatnya ke kanan,
Sudut fase :
Fase gelombang :
Beda fase :
Dua buah titik bisa memiliki fase sama dengan syarat sebagai berikut :
Dua buah titik bisa memiliki fase berlawanan dengan syarat sebagai berikut :
Contoh Soal
Soal Nomor 1
Pembahasan :
𝑦 = 10 sin 2𝜋 ( 0,5 𝑥 - 2𝑡)
𝑦 = 10 sin(2𝜋. 0,5 𝑥 - 2𝜋. 2𝑡)
𝑦 = 10 sin(𝜋. 𝑥 - 4𝜋 𝑡)
Dari persamaan tersebut, diketahui:
𝜔 = 4𝜋
2𝜋𝑓 = 4𝜋
𝑓 = 2 Hz
𝑘 = 𝜋
𝜆 = 2 𝑚
Dengan demikian, cepat rambat gelombangnya dapat ditentukan sebagai berikut :
𝑣 = 𝜆 𝑓
= 2 .2
= 4 𝑚/𝑠
Jadi, cepat rambat gelombang tersebut adalah 4 m/s.
Soal Nomor 2
Pembahasan :
Diketahui :
Ditanya :
∆𝑥 = ⋯?
Dijawab :
GELOMBANG STASIONER
Gelombang stasioner adalah jenis gelombang yang mempunyai amplitudo tidak tetap atau berubah-ubah. Gelombang stasioner adalah hasil perpaduan dua buah gelombang yang amplitudonya selalu berubah. Artinya, tidak semua titik yang dilalui gelombang ini memiliki amplitudonya sama. Saat membahas gelombang stasioner, Anda akan bertemu dengan istilah perut dan simpul. Perut adalah titik amplitudo maksimum, sedangkan simpul adalah titik amplitudo minimum.
Gelombang stasioner ini dikenal juga dengan nama gelombang berdiri atau gelombang tegak. Gelombang stasioner ini dapat dibagi menjadi dua kelompok besar yaitu:
- Gelombang stationer yang diakibatkan oleh pemantulan di ujung terikat
- Gelombang stasioner dengan ujung bebas
Gelombang Stasioner Ujung Bebas
Gelombang stasioner ujung bebas tidak mengalami pembalikan fase. Artinya, fase gelombang datang dan pantulnya sama. Dengan demikian, beda fasenya sama dengan nol.
Persamaan Gelombang Stasioner Ujung Bebas
Perhatikan gambar gelombang di atas.
gelombang datang simpangan awalnya ke atas dan merambat ke kanan
gelombang pantul simpangan awalnya juga ke atas dan merambat ke kiri
dengan menjumlahkan dari kedua persamaan gelombang tersebut, diperoleh :
Ingat :
Jadi bisa dituliskan :
Ingat :
sehingga dapat dituliskan :
bentuk persamaan dasar gelombang adalah
maka yp dapat dituliskan dalam bentuk :
jadi perpaduan antara gelombang datang dan gelombang pantul pada gelombang stasioner ujung bebas menghasilkan persamaan berikut :
amplitudo gelombang stasioner ujung bebas adalah :
Karena nilai sin 𝜔𝑡 nilai maksimumnya adalah 1
Keterangan :
Ap = amplitudo gelombang stasioner (m);
yp = simpangan gelombang stasioner (m);
𝜔 = kecepatan sudut gelombang (rad/s);
t = lamanya gelombang bergetar (s);
k = bilangan gelombang; dan
x = jarak titik ke sumber getar (m)
Untuk menentukan letak perut dari ujung bebas, dapat menggunakan persamaan berikut :
dengan n = 0, 1, 2, 3, ….
Untuk menentukan letak simpul dari ujung bebas, dapat menggunakan persamaan berikut :
dengan n = 0, 1, 2, 3, ….
Gelombang Stasioner Ujung Tetap
Berbeda dengan gelombang stasioner ujung bebas, pada ujung tetap terjadi pembalikan fase sebesar :
sehingga beda fasenya menjadi :
gelombang datang simpangan awalnya ke atas dan merambat ke kanan
gelombang pantul simpangan awalnya ke bawah dan merambat ke kiri
dengan menjumlahkan dari kedua persamaan gelombang tersebut, diperoleh :
Ingat :
Jadi bisa dituliskan :
Ingat :
sehingga dapat dituliskan :
Tanda negatif (-) di depan amplitude (A) adalah tanda gelombang tersebut simpangan awalnya ke bawah, jadi bentuk persamaan dapat dituliskan :
jadi perpaduan antara gelombang datang dan gelombang pantul pada gelombang stasioner ujung tetap menghasilkan persamaan berikut :
amplitudo gelombang stasioner ujung bebas adalah :
Karena nilai cos 𝜔𝑡 nilai maksimumnya adalah 1
Keterangan :
Ap = amplitudo gelombang stasioner (m);
yp = simpangan gelombang stasioner (m);
𝜔 = kecepatan sudut gelombang (rad/s);
t = lamanya gelombang bergetar (s);
k = bilangan gelombang; dan
x = jarak titik ke sumber getar (m)
Untuk menentukan letak perut dari ujung bebas, dapat menggunakan persamaan berikut :
dengan n = 0, 1, 2, 3, ….
Untuk menentukan letak simpul dari ujung bebas, dapat menggunakan persamaan berikut :
dengan n = 0, 1, 2, 3, ….
Contoh Soal
Soal Nomor 1
Pada gelombang stasioner, titik simpul ke-10 berjarak 1,33 m dari ujung bebasnya. Jika diketahui frekuensi gelombang 50 Hz. Tentukan panjang gelombang dan cepat rambatnya gelombangnya!
Pembahasan :
Diketahui :
f = 50 Hz
x10 = 1,33 m = 133 cm ( simpul ke 10 berarti n = 9 )
ditanya :
𝜆 = ⋯ . ? dan 𝑣 = ⋯?
Pada ujung bebas letak simpul dirumuskan sebagai berikut :
Oleh karena 𝜆 = 28 𝑐𝑚= 0,28 𝑚 , maka cepat rambat gelombangnya dapat di tentukan dengan rumus berikut :
𝑣 = 𝜆 𝑓
= 0,28 ( 50 )
= 14 𝑚/𝑠
Jadi panjanag gelombang dan cepat rambatnya berturut turut adalah 0,28 dan 14 m/s.
Soal Nomor 2
Suatu gelombang mempunyai persamaan y = 0,2 cos (4πx) sin (5πt). Jika y dan x dalam meter, serta t dalam sekon, tentukanlah jarak antara titik perut dan titik simpul yang berdekatan!
Pembahasan :
Diketahui :
𝑦 = 0,2 cos( 4𝜋𝑥 ) sin( 5𝜋𝑡)
Ditanya :
jarak perut dan simpul yang berdekatan ?
Jawab :
Dari persamaan 𝑦 = 0,2 cos( 4𝜋𝑥 ) sin( 5𝜋𝑡) diketahui :
Untuk menentukan jarak perut dan simpul yang berdekatan, tentukan dahulu nilai saat n = 0.
Dengan demikian , jarak perut dan simpul yang berdekatan adalah :
Jadi, jarak perut dan simpul yang berdekatan adalah 0,125 m atau 12,5 cm.
Soal Nomor 3
Sebuah tali yang panjangnya 95 cm direntangkan. Salah satu ujung tali tersebut digetarkan harmonik naik-turun dengan amplitudo 8 cm dan frekuensi 1 4 Hz. Sementara itu, ujung tali lainnya terikat. Jika getaran tersebut merambat dengan kecepatan 3 cm/s, Tentukan letak simpul ke-5 dan perut ke-2 dari titik asal getaran!
Pembahasan :
Diketahui :
Ditanya :
Xs5 = ….? dan xp2 = ….?
Jawab
letak simpul ke-5 dari ujung terikat. Simpul ke-5 berarti n = 4 sehingga :
Dengan demikian, letak simpul ke-5 dari sumber getarnya adalah sebagai berikut.
L – xs5 = 95 – 24 = 71 cm
letak perut ke-2 dari ujung terikat. Perut ke-2 berarti n = 1, sehingga :
Dengan demikian letak perut ke 2 dari dari sumber getarnya adalah sebagai berikut :
L – xs2 = 95 – 9 = 86 cm
Jadi, letak simpul ke-5 dan perut ke-2 dari titik asal getaran berturut-turut adalah 71 cm dan 86 cm.
